Prelevare un campione da un lotto: cosa posso trovare

Supponiamo di avere un lotto di 10 pezzi contenente 3 pezzi difettosi:

Ora decidiamo di prelevare 2 unità (n, numerosità del prelievo).

1. Qual è la probabilità di campionare unità tutte conformi?
   La probabilità di prelevare la prima unità conforme è 0.7 (7/10), la probabilità di prelevare la seconda ancora conforme è 0.6667 (6/9, le unità conformi rimaste sono 6 su 9 rimaste totali). La probabilità di trovarle entrambe conformi è P1=0.7*0.6667=0.4667
2. Qual è la probabilità di campionare 1 unità conformi e 1 difettosa?
   La probabilità di prelevare la prima unità conforme è 0.7 (7/10), la probabilità di prelevare la seconda non conforme è 0.3333 (3/9, tre unità non conformi su 9 unità rimaste). Quindi la probabilità di prelevare la prima conforme e la seconda difettosa sarebbe pa=0.7*0.3333=0.23331
   Però la stessa situazione potrei averla se prelevassi la prima unità non conforme e la seconda OK. In questo caso la probabilità di prelevare la prima difettosa è 0.3 (3/10) mentre quella di prelevare la seconda conforme sarebbe 0.7778 (7/9, 7 conformi su 9 rimaste). Quindi la probabilità di prelevare la prima difettosa e la seconda conforme è pb=0.3*0.7778=0.23334
   Quindi alla fine, la probabilità di ottenere una unità conforme e una difettosa, in qualsiasi ordine le abbia prelevate sarebbe P2=pa+pb=0.23331+0.23334=0.4667
3. Qual è la probabilità di campionare tutte unità difettose?
   La probabilità di campionare la prima unità difettosa è 0.3 (3/10), la probabilità di campionare anche la seconda difettosa è 0.2222 (2/9. 2 difettose rimaste su 9 unità totali rimaste). Quindi la probabilità di prelevare due unità e trovarle entrambe difettose è P3=0.3*0.2222=0.067

Se abbiamo considerato tutti i casi possibili, la somma delle probabilità P1, P2 e P3 deve essere 1:
infatti 0.4667 + 0.4667 + 0.0667 = 1.0001 (il fatto che sia leggermente superiore a 1 è dovuto agli arrotondamenti intermedi effettuati).

Supponiamo che il lotto sia molto grande, di 1000 pezzi, e che contenga sempre 3 unità di difettosi e di conseguenza 997 unità conformi.
Ora prendiamo il quesito 1:
la probabilità di estrarre la prima unità conforme è 0.997 (997/1000).
La probabilità di estrarre la seconda unità è 0.997 (cioè 996/999, cioè 996 unità conformi su 999 unità totali rimaste).
Ora prendiamo il quesito 3:
la probabilità di estrarre la prima unità non conforme è 0.003 (3/1000).
La probabilità di estrarre la seconda unità non conforme è 0.002 (2/1000)
Come si può facilmente intuire quindi, quando i lotti sono molto grandi rispetto alla numerosità del campionamento, la probabilità di estrazione di una unità conforme o difettosa, non varia a seconda che sia la prima o la seconda estratta.
Possiamo quindi dire in generale che la probabilità di estrarre una unità conforme è 0.997 (997/1000, 1-p) e quella di estrarre una unità difettosa è 0.003 (3/1000, p).